بررسی گراف حاصل ضرب نقطه ای یک حلقه جابجایی

در سراسر این پایان نامه ‎‎ یک حلقه‎ی جابجایی و یکدار می‎باشد و منظور از عناصر ناصفر حلقه‎ی ‎ است. فرض کنید ( مرتبه) که در آن . گراف حاصلضرب داخلی تام ‎، گراف (غیر جهت ‎ دار ) با رئوس می‎باشد و دو رأس متمایز ‎ و ‎ در این گراف مجاورند هرگاه . ‎ اگر ‎ را مجموعه‎ی همه‎ی مقسوم علیه‎های صفر ‎ در نظر بگیریم، گراف حاصلضرب نقطه‎ای مقسوم‎علیه صفر ‎ که با ‎ نشان داده می‎شود زیرگرافی از با رئوس می باشد.‎ بنابراین هر یال ‎(مسیر)‎ از گراف مقسوم‎علیه صفر کلاسیک ، یک یال ‎(مسیر)‎ از ‎است. مشاهده می‎کنیم که اگر ، آنگاه ‎ گرافی ناهمبند است و ‎ با گراف مشهور مقسوم‎‎علیه صفر ‎ که بک در ، و سپس اندرسون و لیوینگستون در معرفی کردند یکسان بوده ودر نتیجه همبند می باشد.‎ در این پایان نامه گراف ‎ و ‎ را مورد مطالعه قرار می دهیم.‎ برای یک حلقه‎ی جابجایی و ناصفر نشان می‎‎دهیم که اگر ، آنگاه هر دو گراف فوق همبند بوده و به ترتیب دارای قطر ‎ ‎ و حداکثر ‎ ‎ می باشند.‎ علاوه بر این کمر هر دو گراف ‎ است. همچنین اگر ، آنگاه ‎ با گراف مقسوم‎علیه صفر ‎یکی است اگر و تنها اگر و ‎ یک دامنه ی صحیح باشد یا ‎ با یکریخت حلقه‎ای باشد. در پایان به معرفی و بررسی گراف ‎ و می‎پردازیم که از یک طرف تعمیمی از گراف‎های ‎ و ‎ و از طرف دیگر تعمیمی از گراف مقسوم‎‎علیه صفر ایده‎آل مبنای ‎ می‎‎باشد که توسط ردموند در معرفی و مطالعه شده است.